bilangan kompleks

Perkalian bilangan kompleks

Contoh: ( 3 + j4 ) ( 2 + j5 )

Perkalian ini dikerjakan dengan cara yang sama seperti kita menghitung perkalian (3x+4y)(2x+5y).

Lakukan perkalian antara lain :

• Kedua suku yang kiri
• Kedua suku yang dalam
• Kedua suku yang luar
• Kedua suku yang kanan

( 3 + j4 ) ( 2 + j5 ) = 6 + j8 + j15 + j²20

= 6 + j23 + 20 (karena j² = -1)

= -14 + j23

Jika perkalian memuat lebih dari dua faktor, maka perkalian dilakukan secara bertahap:

( 3 + j4 ) ( 2 – j5 ) ( 1 – j2 )

= ( 6 + j8 – j15 – j²20 ) (1 – j2 )

= ( 6 – j7 + 20 ) (1 – j2)

= ( 26 – j7 ) ( 1 – j2 )

= 26 – j7 – j52 + j²14 )

= 26 – j59 – 14

=12 – j56

.Kesamaan Bilangan kompleks

sekarang mari kita lihat apa yang dapat diketahui jika dua bilangan kompleks dikatakan sama.

Misalkan kedua bilangan itu adalah

a + jb dan c + jd

maka diperoleh

a + jb = c + jd

penyusunan kembali letak suku-sukunya memberi

a – c = j( d – b )

Dalam pernyataan yang terakhir ini, besaran diruas kiri keseluruhanya ril,sedangkan besaran diruas kanan keseluruhanya imajiner, yaitu besaran ril sama dengan besaran imajiner. Nampaknya bertentangan dan pada umumnya hal ini tidak benar. Tetapi ada satu hal khusus yang memungkinkan hal ini benar, yaitu jika:

• Masing-masing ruas sama dengan nol
• a = 6 dan b = -3
• a + b = 7 dan a – b = 2
• a = 4,5 , b = 2,5

Bentuk Penjumlahan

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

a + bi atau (a,b)+(c,d) = ( a + c , b + d )

Bilangan imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i ² = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:

atau secara ekivalen

atau juga sering dituliskan sebagai

.

Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:

), dengan j = −i.

Bentuk Polar atau Kutub Bilangan Kompleks

Dengan menganggap bahwa:

dan

maka

a + bi = r(cosθ + isinθ)

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk r(cosθ + isinθ) juga sering ditulis sebagai .

Bentuk Eksponen Bilangan Kompleks

Masih ada cara lain untuk menyatakan bilangan kompleks yang harus kita pelajari, karena bentuk ini juga ada penggunaanya, kita akan memperolehnya dengan cara berikut :

Banyak fungsi dapat dinyatakan sebagai deret, misalnya :

e^x = 1 + x +

sin x =

cos x = 1

Apabila x diganti dengan iθ pada e^x maka diperoleh bahwa :

e^iθ = r(cosθ + isinθ)